黃大偉理財研究室

幾何年平均報酬率和算術平均報酬率的差異

談到投資理財，民眾最在意的是投資報酬率，但投資報酬率的評估方式有很多種，分為累積報酬率和年平均的年報酬率。累積報酬率是計算投期期間的總計的報酬率，而不考慮資金投入時間的長短效益。累積報酬率=總損益/投入本金。  平均年報酬率則是計算平圴一年的所可獲得的報酬率，是有考慮時間長短價值的評估指標。常用的年平均報酬率又可分為幾何平均報酬率及算術平均報酬率兩種。

年化報酬率（複利）

年化報酬率指投資者投資某資產若干年後，每年平均獲得的報酬率，最常見的計算平均報酬率的方法有 算術平均法及幾何平均法，其中又以幾何平均報酬率能正確地評估實際報酬率，所以年化報酬率泛指幾何年平均報酬率，而非算術平均年報酬率

算數年平均年報酬率

將每年的報酬率加總，除以投資年數所得出之平均報酬率。

實例：如果富小姐以10萬元投資C股票，無配息的情況下，第一年末的Ｃ股票價值減少50%至5萬元，第二年末股票價Ｃ股票價值相對第一年末成長了100%為10萬元，請問到第二年末的算術平均的年報酬率為多少？

算術平均的年報酬=(-50%+100%)/2=25%

但事實上，本金為10萬，投資C股票二年後，總資產依然為10萬，代表二年的投資總報酬率為０，但算術平均的年報酬率卻有25%，造成邏輯上的偏差，並不準確

幾何年平均年報酬率

用利用各年度的相對報酬率求算幾何平均值，投資n年的幾何平均年報酬率公式如下： 

幾何年平均報酬率＝[(1+第1年報酬率) x (1+第2年報酬率） x (1+第3年報酬率)...)]^1/n - 1

實例：如果富小姐以10萬元投資C股票，無配息的情況下，第一年末的Ｃ股票價值減少50%至5萬元，第二年末股票價Ｃ股票價值相對第一年末成長了100%為10萬元，請問到第二年末的幾何平均的年報酬率為多少？

幾何平均的年報酬=[(1-50%) x (1+100%) ]^1/2- 1=0%

本金為10萬，投資C股票二年後，總資產依然為10萬，代表二年的投資總報酬率為０，幾何平均法可以避免算術平均法的偏差。

在計算投資標的的利益時，除了投資總報酬率外，最常用的即是年化報酬率。

年化報酬率是複利率

年複利率的本利和公式=本金x  [(1+年利率)]ⁿ 

幾何年平均報酬率公式＝[(1+第1年報酬率) x (1+第2年報酬率 x (1+第3年報酬率)...)]^1/n - 1

其中年利率的意義等同於幾何平均的年報酬，上面二個公式是互通的，有興趣的人可以驗算一下。

由上面章節的說明可知，

年化報酬率＝幾何年平均報酬率公式＝[(1+第1年報酬率) x (1+第2年報酬率 x (1+第3年報酬率)...)]^1/n - 1

加以推導可得，